Je odchovancem HC Hradec Králové. Tam si zažil i svou extraligovou premieru. V roce 1995 byl v draftu NHL jako 142. celkově za tým San Jose Sharks. V sezonách 1995-2004 válel Jaroslav Kudrna za pardubické perníkáře. Poté ještě vystřídal Plzeň a zdržel se i v Třinci.
V sezoně 2006/2007 se poprvé podíval do zahraničí a to když hrál za Metallurg Magnitogorsk v KHL společně s Tomášem Rolinkem a Janem Markem. Od roku 2010 hraje Jaroslav Kudrna opět tuzemskou extraligu. Nejdříve byl v týmu Bílí Tygři Liberec a nyní je zpátky v rodném Hradci Králové, kde hraje za Mountfield. Letos zatím v extralize válí. Po 18 zápasech má bodování 10+10.
V reprezentaci odehrál celkově 17 zápasů. V nich střelil "jen" 5 gólů a všechny v sezoně 2005/2006.
Jeho mladší bratr Ladislav Kudrna je hokejový brankář. Jaroslav Kudrna je ženatý, jeho manželka se jmenuje Gabriela, se kterou má dceru Elišku.