Po absolvování Lékařské fakulty Univerzity Karlovy v Praze začal Róbert Teleky roku 1995 pracovat jako chirurg ve Vsetíně a ve Valašském Meziříčí. Poté se angažoval v dozorčích radách několika společností. Roku 2012 se stal jednatelem a společníkem ve firmě Teleky Medicus.
Po neúspěchu v letech 1998, 2002, 2006 a 2010 se Róbert Teleky (člen KDU-ČSL od roku 2010) do komunální politiky dostal ve volbách 2014, v nichž se stal zastupitelem a posléze radním města Vsetín. Volby 2018 mu přinesly obhajobu obou postů.
Po nezdaru v krajských volbách 2012 se Róbert Teleky do Zastupitelstva Zlínského kraje dostal ve volbách 2016 a mandát v roce 2020 mandát obhájil.
Štěstí Róbertovi Telekymu nepřálo v parlamentních volbách 2010 a 2013. Do dolní komory usedl po volbách 2021 za koalici SPOLU (ODS, KDU-ČSL a TOP 09), za niž kandidoval ve Zlínském kraji.
Róbert Teleky je ženatý. S manželkou Danou má dceru a tři syny.