Po Vojenském gymnáziu v Opavě Karel Řehka v letech 1993 až 1997 vystudoval obor průzkumný na Vysoké vojenské škole pozemního vojska ve Vyškově. Za sebou má i roční důstojnický kurz v Královské vojenské akademii v Sandhurstu ve Spojeném království.
Coby velitel 6. speciální brigádě byl Karel Řehka roku 1998 vyslán do kurzu RANGER ve Spojených státech. V červnu 1999 jej jako velitele průzkumného oddílu vyslali se 6. průzkumnou rotou KFOR do operace Joint Guardian na území jugoslávské provincie Kosovo.
Jako starší důstojník pracoviště zahraničních styků byl Karel Řehka v létě roku 2000 odvelen k Vysoké vojenské škole pozemního vojska ve Vyškově. V letech 2001 až 2002 velel Skupině leteckých návodčích u 32. základny taktického letectva v Náměšti nad Oslavou.
V roce 2003 Karel Řehka absolvoval kurs krizového řízení obrany státu na Vojenské akademii v Brně a v roce 2004 se jako zástupce velitele kontingentu speciálních sil zúčastnil operace Enduring Freedom na území Afghánistánu.
Posléze Karel Řehka působil jako vedoucí starší důstojník - specialista oddělení speciálních sil na velitelství sil rychlé reakce NATO v Německu (mezitím se dvakrát vrátil do Afghánistánu). Po návratu do ČR pracoval na Ředitelství řízení speciálních sil ministerstva obrany.
Čtyři roky Karel Řehka velel 601. skupině speciálních sil, během svého angažmá v roce 2011 vedl Úkolové uskupení speciálních sil v operaci ISAF na území Afghánistánu. Od listopadu 2014 do července 2017 zastával post ředitele na nově založeném Ředitelství speciálních sil ministerstva obrany.
Poté Karel Řehka vykonával nově zřízenou funkci zástupce velitele Mnohonárodní divize severovýchod v Elblągu, pod kterou spadají alianční jednotky rychlé reakce předsunuté na území Polska a Pobaltí.
V roce 2016 jej tehdejší prezident ČR Miloš Zeman jmenoval generálem. V květnu 2019 Karel Řehka převzal Cenu Arnošta Lustiga za odvahu, statečnost, lidskost a spravedlnost za rok 2018. Je držitelem řady vyznamenání, které dostal nejen v Česku, ale také v zahraničí, mj. v Polsku nebo v Afghánistánu.
V březnu 2020 Karla Řehku druhá vláda Andreje Babiše jmenovala ředitelem Národního úřadu pro kybernetickou a informační bezpečnost. Na post v červnu 2022 rezignoval. Miloš Zeman jej k 1. červenci jmenoval dosud nejmladším náčelníkem Generálního štábu AČR. Prezident Petr Pavel ho 8. května 2023 povýšil do hodnosti generálporučíka.
Karel Řehka je ženatý. Má dcery Nelu a Darinu.