David Bičík se narodil 6. června 1981 v Praze a svou brankářskou kariéru načal v pražské Spartě. Poté co prošel mládeží, působil od roku 1998 v A Týmu jako brankářská dvojka pod trenérem Ivanem Haškem. Do základní sestavy se neprosadil a v letech 2006-07 následovalo hostování v klubech FC Viktoria Plzeň a SK Kladno.
David Bičík hrál po návratu z Kladna za béčko Sparty. V létě 2008 neprodloužil smlouvu s AC Sparta Praha a odešel jako volný hráč do ŠK Slovan Bratislava, kde podepsal smlouvu na dva roky. Po konci v Bratislavě podepsal smlouvu na tři roky s FC Slovan Liberec, kde se stal prvním brankářem A Týmu. V sezóně 2011/12 nastoupil za Slovan Liberec ke všem 30 ligovým utkáním a svými zákroky pomohl Slovanu k ligovému titulu.
David Bičík se v roce 2012 vydal do Turecka, kde chytal za kluby Mersin İdmanyurdu SK a Karşiyaka SK. V roce 2014 se vrátil a podepsal opět jako volný hráč dvouletou smlouvu se svým mateřským klubem AC Sparta Praha, kde vytvořil dvojici s Markem Štěchem a trenér Vítězslav Lavička ho určil jako jedničku. Dne 18. července 2014 vychytal výhru 3:0 v Superpoháru FAČR proti týmu FC Viktoria Plzeň.