Marek Štěch se narodil 28. ledna 1990 v Praze. Počátky kariéry prožil v mládežnických týmech Sparty Praha. V roce 2006 ze Sparty v 16 letech odešel poté, co mu nabídl angažmá West Ham United FC hrající anglickou Premier League. Nastupoval však jen v mládežnických týmech a posléze v rezervním družstvu.
Marek Štěch v červenci 2008 prodloužil kontrakt na dalších pět let a byl určen prvním náhradním brankářem. Po hostování v týmech Wycombe Wanderers a Bournemouth si odbyl premiéru v dresu West Hamu proti FC Oxford v ligovém poháru. Pozici jedničky si ovšem nikdy nezískal a po působení v Yeovil Townu či v Leytonu odchází po sezóně 2011/12.
Marek Štěch přestoupil natrvalo do třetiligového týmu Yeovil Town. V Sezoně 2012/13 pomohl k postupu do Football League Championship. Yeovil Town se v ní udržel pouze jednu sezonu 2013/14, po ní opět spadl do třetí ligy a Štěch podepsal jako volný hráč tříletou smlouvu se svým mateřským klubem AC Sparta Praha.
Marek Štěch se společně s dalším gólmanem Davidem Bičíkem stal náhradou za odcházejícího brankáře Tomáše Vaclíka. Na začátku sezony trenér Vítězslav Lavička určil jako týmovou jedničku Bičíka. První soutěžní zápas absolvoval Štěch 22. července 2014 v odvetě 2. předkola Ligy mistrů UEFA proti estonskému klubu FC Levadia Tallinn, zápas skončil 1:1.
Marek Štěch reprezentoval Českou republiku ve výběrech U17 a U21. Největším týmovým úspěchem je účast ve finále proti Rusku na Mistrovství Evropy U17 2006 v Lucembursku. Dne 13. května 2014 ho trenér Pavel Vrba nominoval do české seniorské reprezentace na dvojici přátelských zápasů proti Finsku a Rakousku. Do utkání proti Finsku nezasáhl, celý zápas odchytal Tomáš Vaclík. Debutoval až 3. června 2014 v přátelském utkání na Andrově stadionu v Olomouci proti Rakousku.
Marek Štěch na sebe v roce 2013 upoutal pozornost, když na svůj profil na Twitteru napsal jakožto bývalý sparťan na adresu rivala, celku SK Slavia Praha: Jude Slavie, Slavie - zasraný Židi. Za svoje výroky se posléze omluvil.