Vystudoval filmovou a divadelní vědu na Filozofické fakultě Univerzity Palackého v Olomouci (1995) a potom David Drábek nastoupil jako dramaturg do Moravského divadla v Olomouci (1996 až 2000).
DAVID DRÁBEK - ROZHOVOR PRO REFLEX.CZ
Své první divadelní hry David Drábek uvedl v olomouckém studiu Hořící žirafy, které založil. Režíroval v Divadle Minor, v Klicperově divadle v Hradci Králové, v Divadle na Vinohradech či v Národním divadle. Jeho hry dobyly i zahraniční pódia.
Do povědomí širší divácké obce se David Drábek dostal mj. kontroverzní rozhlasovou hrou Koule, která se zabývá dopingem ve sportu.
Za svou tvorbu David Drábek získal Cenu Alfréda Radoka, a to za hry Jana z parku, Akvabely a Náměstí bratří Mašínů, která dostala také ocenění Česká hra roku 2009. Českou hrou roku se staly i jeho další představení, tedy Noc oživlých mrtvol nebo Jedlíci čokolády.
Žil s herečkou Janou Bernáškovou, s níž má dceru Justýnu. Rozvedli se kvůli jeho vztahu s herečkou Henrietou Hornáčkovou. Jejich dvouleté manželství skončilo na jaře 2016.