Po maturitě na Akademickém gymnáziu v Praze se Josef Koutecký vystudoval Fakultu všeobecného lékařství Univerzity Karlovy a nastoupil jako lékař do dětské léčebny v Novém Bydžově, posléze v Janských Lázních. V roce 1957 odešel do Prahy na Kliniku dětské chirurgie FDL UK na Karlově.
V roce 1964 Josef Koutecký v Československu založil dětskou onkologii. Za léta práce zachránil tisíce dětských onkologických pacientů.
Pod vedením Josefa Kouteckého bylo oddělení v roce 1983 transformováno na samostatnou Kliniku dětské onkologie, kde působil do roku 2004 coby přednosta. Po Sametové revoluci 1989 opakovaně zastával post děkana 2. LF UK.
Z literární činnosti Josefa Kouteckého kromě stovek odborných článků a publikací vzpomeňme např. učebnice a skripta.
Onkolog Josef Koutecký byl držitelem rady ocenění: medaile Za zásluhy II. stupně od tehdejšího prezidenta republiky Václava Havla (1996), hlavní Národní cena projektu Česká hlava (2010) nebo Cena J. E. Purkyně České lékařské společnosti JEP (2014).
Milovník hudby, zejména klavíru, a též obrazů, křesťan Josef Koutecký, byl vdovec. Měl dva syny a dceru. Zemřel náhle 5. července 2019 večer.