Martin Nešpor se narodil 5. června 1990 v Praze. Vyniká především svým důrazem před bránou. Svou fotbalovou kariéru zahájil v dresu pražských Bohemians 1905, kde prošel mládeží a sbíral první zkušenosti z nejvyšší české soutěže v letech 2009-2012. V létě 2012 přestoupil do FK Mladá Boleslav.
Martin Nešpor se ve 13. ligovém kole v listopadu 2012 v utkání proti AC Sparta Praha hlavou srazil s útočníkem soupeře Václavem Kadlecem. Nešpor srážku odnesl tržnou ránou na hlavě, Kadlec měl proraženou lebku a musel se podrobit operaci. V dresu Mladé Boleslavi zaznamenal v 48 zápasech 15 gólů.
Martin Nešpor před sezonou 2014/15 přestoupil do AC Sparta Praha, kde podepsal tříletý kontrakt. První soutěžní zápas za Spartu absolvoval 18. července 2014 v Superpoháru FAČR proti týmu FC Viktoria Plzeň, který Sparta vyhrála 3:0, Nešpor nastoupil v 86. minutě, když vystřídal kapitána Davida Lafatu. První gól za Spartu v soutěžním zápase vstřelil v prvním ligovém kole 25. července 2014 proti svému bývalému klubu Bohemians 1905.