Milan Švenger se narodil 6. června 1986 v Jablonci nad Nisou, kde v letech 1992-2004 působil v mládežnických výběrech. Poté si talentovaného golmana vytáhla pražská Sparta a Švenger už od roku 2005 chytal za sparťanský B Tým. V A Týmu se dosud potkával s velkou konkurencí jako Jaromír Blažek, Matúš Kozáčik nebo Tomáš Vaclík, a tak chytá v rámci hostování v jiných klubech.
Milan Švenger prošel několika kluby z nižších českých soutěží, rok strávil ve slovenské Senici. V létě 2014 Švenger podepsal další smlouvu s týmem AC Sparta Praha a to na 2 roky. Zároveň zamířil na roční hostování s opcí do Bohemians Praha 1905. Za Bohemku chytal v 80. letech i jeho otec. Jeho angažmá bylo fanoušky přijato rozporuplně.
Milan Švenger je zbožný člověk, do kostela začal chodit už jako puberťák. Na těle má také mnoho tetování s náboženskou tématikou. Především tetování tygříka na pravé straně břicha se stalo slavné. Švenger údajně nafotil a poslal lechtivou fotografii doplněnou o mnoho komplimentů českým modelkám Haně Mašlíkové a Agátě Hanychové, které foto zveřejnily na facebooku. Švenger se k aféře odmítl vyjádřit.