Po střední průmyslové škole v Přerově Petr Vrána absolvoval Ekonomickou fakultu Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava. Poté začal pracovat jako manažer.
V letech 2006 až 2012 byl Petr Vrána členem ODS, kterou vyměnil na hnutí ANO 2011. Do komunální politiky se po dvou neúspěších (v letech 2006 a 2010) dostal ve volbách 2014, kdy byl zvolen do Zastupitelstva města Přerova. Post roku 2018 obhájil, stejně jako pozici radního.
Neúspěšně kandidoval v parlamentních volbách 2013. V krajských 2016 Petr Vrána získal post v Zastupitelstvu Olomouckého kraje, od prosince 2018 pak ještě pozici neuvolněného náměstka tamního hejtmana. Na poslanecký mandát dosáhl roku 2017.
Křesla ve Sněmovně se Petr Vrána krátce před senátními volbami 2020 vzdal. V nich za hnutí Andreje Babiše z 2. místa postoupil do druhého kola, a to za obvod č. 63 - Přerov. Po parlamentních volbách 2021 se do dolní komory vrátil.