Absolvoval Institut divadelního umění a kinematografie. Těsně před dokončením školy Claudiu Bleont na filmovém plátně debutoval hned klíčovou postavou v dramatu Fata Morgana (1981). Další výrazné role přišly s filmy Concurs (1983), Pas în doi (1985), O vara de neuitat (1995), Ursul (2011) či Chosen (2016).
Od seriálových tvůrců Claudiu Bleont moc příležitostí nedostal. Zahrál si v rumunském seriálu Gala z 2007. Prezidenta Nicolaea Ceaușesca ztvárnil v dramatickém seriálu HBO Max Spy/Master (2023).
Hraje na scéně divadla National I. L. Caragiale v Bukurešti. V roce 2004 Claudiu Bleont obdržel Řád za kulturní zásluhy v hodnosti rytíře.
Claudiu Bleont byl třikrát ženatý. S první ženou Irinou Tapalaga vydržel pět let (vzali se roku 1981, k rozvodu došlo v roce 1986). Poté žil do roku 2001 ve svazku s režisérkou Beatrice Rancea, následně si vzal herečku Andru Negulescu.