Matúš Kozáčik se narodil 27. prosince 1983 v Dolném Kubíně na Slovensku. Chytat začal v deseti letech v místním klubu. Jako mladší dorostenec přišel do Košic, kde působil následujících pět let. V devatenácti letech přestoupil do Slavie, kde kryl záda Radkovi Černému. Po jeho odchodu v lednu 2005 se stal slávistickou jedničkou.
Matúš Kozáčik poté v létě 2007 přestoupil do Sparty, kde nahradil Jaroslava Blažka a vytvořil brankářskou dvojici s Tomášem Poštulkou. S týmem slavil titul v nejvyšší české soutěži v sezoně 2009/10. Ze Sparty přestoupil do kyperského klubu Anorthosis Famagusta FC, kde působil dva roky.
Před sezonou 2012/2013 přestoupil Matúš Kozáčik do Plzně, kde podepsal tříletý kontrakt. V týmu vedeném Pavlem Vrbou se stal jasnou brankářskou jedničkou. V sezoně 2012/13 se výrazně podílel na triumfu v Gambinus lize. S týmem se zúčastnil Evropské ligy i Ligy mistrů. Na postu hlavního brankáře ho ponechal i nový trnér Plzně Dušan Uhrin mladší.
Matúš Kozáčik debutoval v A Týmu Slovenska 10. prosince 2006 v Abú Dhabí v přátelském utkání proti domácí reprezentaci Spojených arabských emirátů. Odchytal první poločas, zápas skončil vítězstvím Slovenska 2:1.