Po maturitě v rodném Ostrově Jan Bureš nastoupil do firmy NVI Karlovy Vary. V letech 1993 až 2001 pracoval v Léčebných lázních Jáchymov jako recepční a provozní referent. Roku 2008 získal titul inženýra na Podnikohospodářské fakultě VŠE v Praze.
Členem ODS je Jan Bureš od roku 1994. Pět let nato vstoupil do komunální politiky a stal se místostarostou Ostrova. V letech 2002 až 2010 byl jeho starostou. V parlamentních volbách 2010 byl zvolen do dolní komory, přestože kandidoval až na čtvrtém místě.
Ve volbách 2013 mandát neobhájil. Jan Bureš byl opakovaně zastupitelem Karlovarského kraje; od roku 2016 i radním, a to pro oblast zdravotnictví.
Do voleb 2017, v nichž Jan Bureš křeslo ve Sněmovně nezískal, jej ODS vyslala jako svého lídra v Karlovarském kraji, stejně jako do parlamentních voleb 2021 koalice SPOLU (KDU-ČSL, ODS a TOP 09). Do dolní komory se mu podařilo vrátit.
Mezi koníčky Jana Bureše patří historie. Je členem spolku ostrovských ostrostřelců.
S manželkou má Jan Bureš syna Rena a dceru Annu.