Po Vyšší odborné škole a Střední průmyslové škole Žďár nad Sázavou Radek Zlesák absolvoval Fakultu stavební Vysokého učení technického v Brně. Pracoval mj. jako vodohospodář ve společnosti ŽĎAS, dále pak byl projektantem a projektovým manažerem.
V komunálních volbách 2014 člen hnutí ANO 2011 (od roku 2012) Radek Zlesák zasedl do Zastupitelstva města Žďár nad Sázavou a záhy se stal i radním. Ve volbách 2018 oba posty obhájil.
Po neúspěchu v parlamentních volbách 2013 se Radek Zlesák do Sněmovny dostal ve volbách 2017. Ve volbách 2020 byl zvolen zastupitelem Kraje Vysočina. V dolní komoře působil do podzimu 2021.
Mezi zájmy Radka Zlesáka patří práce s dětmi v turistickém oddíle.
Radek Zlesák je ženatý.