S hokejem Matěj Stránský začínal v klubu HC Vítkovice Steel, s nímž v sezoně 2008/2009 získal zlato v extralize do 18 let.
V roce 2011 byl Matěj Stránský drafrován jako 165. celkově týmem Dallas Stars (NHL). Ten jej přesunul do klubu Texas Stars (AHL), s nímž v sezoně 2013/2014 postoupil do playoff, kterou vyhráli a získali Calderův pohár.
V červnu 2017 Matěj Stránský podepsal smlouvu s ruským týmem Severstal Čerepovec (KHL). V prosinci 2019 přestoupil do švédského klubu Mora IK.
V sezoně 2020/2021 získal Matěj Stránský extraligové zlato s HC Oceláři Třinec. Poté začal útočit za švýcarský HC Davos.
V seniorské reprezentaci Matěj Stránský debutoval na MS 2021 v Lotyšsku, kde český tým obsadil 7. místo. V roce 2022 byl nominován do sestavy na ZOH v Pekingu. České reprezentaci se v Číně vůbec nedařilo, nároďák vypadl již v osmifinále.
O MATĚJOVI STRÁNSKÉM ČTĚTE ZDE>>
Pochází z hokejové rodiny. Jeho děda Vladimír Stránský, mistr české extraligy roku z 1981, byl útočník stejně jako otec Darek Stránský, který se začal posléze věnovat trénování juniorů. Hokejisty jsou i strýcové Matěje Stránského Vladan a Vít i jeho bratr Šimon.