Po maturitě na gymnáziu a studiu zpěvu byl Jiří Böhm přijat na Vysokou školu ekonomickou v Praze na obor Podniková ekonomika a management a záhy začal souběžně studovat na DAMU, kde absolvoval obor Herectví alternativního a loutkového divadla.
První stále angažmá Jiří Böhm dostal v Městském divadle Kladno, z něhož po dvou letech odešel na volnou nohu. Účinkoval mj. na scénách Divadla Letí, Pomezí, Vosto5, 3D Company, dále pak v Semaforu, ve Studiu Ypsilon, Jihočeském divadle v Českých Budějovicích nebo v Divadle F. X. Šaldy v Liberci.
Na filmovém plátně Jiří Böhm debutoval rolí Angeláriuse, což je fiktivní postava, v koprodukčním historickém dramatu režiséra Petra Nikolaeva Cyril a Metoděj - Apoštolové Slovanů (2013).
Za roli Václava Havla v inscenaci Olga nastudovanou souborem Divadlo Letí byl Jiří Böhm nominován na Talent roku 2016 v Cenách divadelní kritiky.
Na obrazovce se Jiří Böhm objevil jako František v naučném seriálu o finanční gramotnosti s názvem Bankovkovi (2017), vysílaném Českou televizí.
V letech 2017 až 2020 profesionální speaker Jiří Böhm moderoval pořad Mozaika na stanici Český rozhlas Vltava.
Milovníci seriálů mohli Jiřího Böhma vidět v Ulici, v minisérii Cyril a Metoděj - Apoštolové Slovanů, v 1. MISI, ve Specialistech či v Modrém kódu. V roce 2022 nastoupil jako medik Ondřej Berkovec do kamenické nemocnice v oblíbené Ordinaci v růžové zahradě 2 TV Nova.