Jeho otec byl kožešník. Matka modelka a kloboučnice zemřela za války v Osvětimi. Sám Miloš Kopecký zakoušel trýzeň pracovního tábora v Bystřici. První zkušenosti s divadlem získal jako obsluha gramofonu a opony. Postupně se vypracoval. Zahrál si v Zelené pastvince nebo v Osudech dobrého vojáka Švejka. V divadle Větrník poznal i svou první ženu. Stella Zázvorková se s ním po roce rozvedla. Jejich dcera Jana Kateřina spáchala v patnácti demonstrativní sebevraždu. Kopeckého deprese se zhoršovaly.
Z Větrníku přešel do Divadla satiry. Z Národního divadla ho vyhodili. Přišel na představení opilý. Slivovici už od té doby neokusil. Hrál v Realistickém divadle a v Městských divadlech pražských. V divadle ABC poznal Miloš Kopecký legendy Jana Wericha a Miroslava Horníčka. S ním napsal hru Tvrďák, která čítala na dvě stě padesát repríz. Podruhé se oženil a rozvedl s tramvajačkou Kateřinou Soukupovou.
Během angažmá v Hudebním divadle Karlín poznal herec Miloš Kopecký svou třetí ženu Janu Lichtenbergovou. V Divadle na Vinohradech ztvárnil role v Pygmalionu nebo v Miláčkovi Ornifelovi. Mistrně se popral s Lakomcem i s Richardem III. Ptákovinu hrál Na zábradlí. Ukázal se ve filmech Baron Prášil, Žebrácká opera nebo v Bílé paní. Geniální byl v rolích komiků i padouchů. Zastřeným pohledem dostal každého.
Nezapomenutelným se stal Miloš Kopecký jako doktor Štrosmajer ze seriálu Nemocnice na kraji města. Elegantně proplul i jako šéf vodníků filmem Jak utopit doktora Mráčka. Následovaly Křtiny, Já už budu hodný, dědečku!, Noc na Karlštejně, Adéla ještě nevečeřela, Tři veteráni a spousta dalších. Mezi jeho blízké kolegy patřil Rudolf Hrušínský, Vlastimil Brodský nebo Jiří Kodet.
Jednou z největších chyb Miloše Kopeckého byl Krok do neznáma z roku 1984, prorežimní seriál, který moderoval. O rok později získal Miloš Kopecký titul národní umělec. Se svoji čtvrtou ženou, tanečnicí Janou Křečkovou zůstal až do smrti. Vychovávali dceru Barboru. Mezi jeho milenky patřila například hlasatelka Anna Wetlinská nebo režisérka Věra Chytilová, která si ho chtěla vzít.