Ačkoli by se mohlo zdát, že vzhledem k počtu doktorských rolí musí mít nutně vystudovanou medicínu, nemá. Martin Stránský studoval na Gymnáziu v Telči, kde hrál závodně volejbal, proto jeho první kroky měly vést na Fakultu tělovýchovy a sportu. Vzhledem k rodinné anamnéze (je synem herce a později ředitele Horáckého divadla Miloše Stránského) nakonec ale zvítězilo rozhodnutí jít na DAMU. Poprvé stanul na divadelních prknech ve svých třinácti letech, kdy si zahrál Alfréda ve hře Jak vyloupit banku. Protože se na vysněnou DAMU napoprvé nedostal, chodil celou sezónu nejprve jako elév (neplacený začátečník). Nakonec nejenže se na školu dostal, ale i absolvoval, a to rolí Laca v inscenaci Její pastorkyňa. Hned poté si Martina Stránského „uloupilo“ divadlo Josefa Kajetána Tyla v Plzni, kde získal stále angažmá. V roce 2007 obdržel Cenu Vendelína Budila za roli Eddieho v inscenaci Pohled z mostu a za stejnou roli i nominaci na Cenu Thálie. Nebrání se ani hostování v jiných divadlech. V Národním divadle si zahrál roli Valmonta v Nebezpečných vztazích, účinkoval na Letních Shakespearovských slavnostech na Pražském hradě jako Jago v Othellovi.
Od roku 1993 se Martin Stránský také objevuje v nejrůznějších seriálech a filmech. Zahrál si prince v pohádce Anička s lískovými oříšky, lékaře ve filmu Nikdo neměl diabetes, terapeuta drogově závislých v Pravidlech lži, v roce 2008 se ujal dvojrole kováře a vládce pekel v pohádce Čertova nevěsta, a roli měl i v oceňovaném snímku Habermannův mlýn. Opomenuty by neměly zůstat jeho doktorské postavy v seriálech Ordinace v růžové zahradě a Doktoři z počátků, kde jsou jeho partnery např. Micheala Sejnová, Jana Stryková či Václav Postránecký. Martin Stránský se také aktivně věnuje dabingu. Vytváří charakteristický ironický hlas Dr. House (získal za něj i prestižní Cenu Františka Filipovského), starostlivý hlas Seeleyho Boota v seriálu Sběratelé kostí, či výhružný tón Lovce krokodýlů Steva Irwina. Martin Stránský pět let chodil s právničkou Martinou, již si v roce 2014 vzal. Dříve byla jeho partnerkou herečka Bára Munzarová.