V herecké branži Jindřich Žampa začal s dabingem, a to již ve svých osmi letech. Byl opakovaně nominován na cenu Františka Filipovského za mimořádný dětský herecký výkon v dabingu. Po roce na Mezinárodní konzervatoři Praha začal Jindřich Žampa roku 2015 studovat Pražskou konzervatoř.
Na televizní obrazovce se Jindřich Žampa poprvé mihl roku 2011 v pohádce Micimutr a ve filmu v Čertově nevěstě Zdeňka Trošky, bylo to roku 2011. Hlavní roli ztvárnil v krátkém filmu Amanitas (2015) po boku zkušených herců: Lenky Krobotové, Kláry Melíškové a Martina Fingera. Tento snímek byl roku 2016 nominován na Českých lvech na cenu Magnesia za nejlepší studentský film. Jindřich Žampa se objevil v seriálech Policie Modrava, Přešlapy či Ulice.
Jednu z ústředních postav před profesionální kamerou Jindřich Žampa ztvárnil v psychologickém dramatu Jiřího Houšky a Jana Zbořila Zemřít šťastný (2017), v němž se na place potkal mj. s Janem Antonínem Duchoslavem, Mahulenou Bočanovou, Ondřejem Havelkou či Davidem Matáskem.
Jako moderátor se Jindřich Žampa předvedl v talk-show Shots! Uplatnil se v režijním debutu herce Jakuba Janatky, publicistickém pořadu NETuse (2016), kde účinkovali zpěvák Ben Cristovao, režisér Jakub Kohák či youtubeři Johny Machette a Pavel Callta.