Po oboru počítačové elektronické systémy na Soukromé střední odborné škole v Kunovicích František Elfmark absolvoval obor aplikace výpočetní techniky v telekomunikacích na Vyšší odborné škole elektrotechnické v Olomouci. Titul Bc. si odnesl z Univerzity Tomáše Bati ve Zlíně.
Kromě IT se František Elfmark věnoval tvorbě grafiky a internetových stránek, a to i v rodinné firmě. Osamostatnil se roku 2011, kdy začal podnikat. V rámci své profese spolupracoval s Klubem kultury v Uherském Hradišti.
Do politiky František Elfmark vstoupil v komunálních volbách 2014, kdy byl zvolen do Zastupitelstva města Uherské Hradiště coby člen hnutí Zdravé Hradiště. Čtyři roky působil i jako radní. Ve volbách 2018 obhájil post zastupitele, a to již za Českou pirátskou stranu.
Za Piráty se Františku Elfmarkovi ve volbách 2017 podařilo dostat do Sněmovny, kde se zaměřil na problematiku životního prostředí. Mj. inicioval, aby se v dolní komoře přestalo používat plastové nádobí a zavedly se koše na tříděný odpad. Do České pirátské strany vstoupil roku 2019.
Do parlamentních voleb 2021 František Elfmark vkročil jako lídr koalice Piráti a STAN ve Zlínském kraji. Křeslo v dolní komoře neobhájil.
S manželkou Hanou má František Elfmark syna Štěpána a dceru Stellu.