Po gymnáziu v Nové Pace, kde stál u zrodu Občanského fóra, Josef Cogan absolvoval Právnickou fakultu Univerzity Karlovy v Praze. Poté, co působil jako koncipient v AK, se roku 2008 stal advokátem. Kromě toho mj. šéfoval představenstvu Občanské záložny, spořitelní a úvěrní družstva - podnik skončil v likvidaci.
V komunálních volbách 2002 Josef Cogan jako nezávislý usedl do Zastupitelstva města Nová Paka a záhy se stal i tamním starostou, jímž byl do voleb 2010, kdy již tento na post nekandidoval, jelikož byl zvolen poslancem (do předčasných voleb 2013).
Opakovaně obhájil post zastupitele a v listopadu 2018 se Josef Cogan stal znovu starostou města. V parlamentních volbách 2017 neuspěl. Do dolní komory se vrátil po volbách 2021, a to již jako člen hnutí STAN z druhé příčky královéhradecké kandidátky koalice Piráti a Starostové.
Josef Cogan je ženatý a má dva syny.