Absolvoval Konzervatoř v Pardubicích a později Akademii múzických umění v Praze. Soukromě Martin Bárta studoval zpěv u významného britského pěvce Jacka Straucha.
Profesní kariéru Martin Bárta zahájil v letech 1990 až 1991 jako sólista Armádního uměleckého souboru v Praze. Poté učil zpěv, hru na klavír a hudební teorii na Vysoké škole pedagogické a ZUŠ v Hradci Králové.
V roce 1994 se Martin Bárta stal sólistou v Divadle F. X. Šaldy v Liberci, které po třech letech vyměnil za Státní operu Praha. Tam debutoval jako Hlasatel v Lohengrinovi. Vytvořil zde řadu rolí (Oněgin, Valentin, Guglielmo, Don Giovanni, Marcello, Amonasro, Nabucco, Rigoletto či Scarpia).
Pravidelně hostuje na scénách Národního divadla v Praze, ve Slovenském národním divadle v Bratislavě, v Divadle J. K. Tyla v Plzni a v Národním divadle moravskoslezské v Ostravě. Martin Bárta vystupuje také v zahraničí, mj. v Německu, v Rakousku, ve Švýcarsku, ve Franci, v Itálii či v Japonsku.
Kromě toho si mohou milovníci opery Martina Bártu poslechnout na prestižních festivalech, jako jsou Pražské jaro, Salzburger Festspiele nebo Smetanova Litomyšl. Od roku 2006 pěvec vyučuje zpěv na HAMU. Spolupracuje se Symfonickým orchestrem Českého rozhlasu.
V roce 2005 Martin Bárta získal Cenu za nejlepší výkon ve vedlejší roli Mlynáře v Lucerně, a to v rámci festivalu Opera. V letech 2012 a 2015 byl zařazen v širší nominaci na Cenu Thálie. Tu obdržel roku 2022 za roli Jaga v opeře Giuseppe Verdiho Otello.