Dirigování se Jakub Hrůša začal věnovat během studia gymnázia. Po maturitě byl přijat na Hudební fakultu AMU v Praze. Absolvoval koncertem se Symfonickým orchestrem Českého rozhlasu. V roce 2005 byl na stáži na Universität der Künste v Berlíně.
Byl mj. šéfdirigentem Pražského studentského orchestru, asistentem šéfdirigentů České filharmonie či šéfdirigentem Pražské komorní filharmonie. Jakub Hrůša spolupracuje se řadou zahraničních těles. V roce 2011 byl jmenován hudebním ředitelem Královské dánské opery v Kodani.
V témže roce časopis Gramophone Jakuba Hrůšu označil za jednoho z dirigentů s hvězdnou budoucností.
Na podzim 2016 se Jakub Hrůša stal šéfdirigentem Bamberských symfoniků v bavorském Bamberku. Hostuje v České filharmonii a v orchestru Accademia Nazionale di Santa Cecilia v Římě.
Již v 18 letech se Jakub Hrůša zúčastnil mezinárodní dirigentské soutěže Pražského jara, v níž získal čestné uznání poroty a další dvě ceny pro nejmladšího a nejúspěšnějšího českého kandidáta. V roce 2003 se stal laureátem mezinárodní soutěže dirigentů Lovro von Matačić v chorvatském Záhřebu.
V roce 2005 Jakub Hrůša zvítězil v mezinárodním výběrovém řízení na pozici asistenta šéfdirigenta Orchestre Philharmonique de Radio France v Paříži Myung-Whun Chunga. V roce 2020 obdržel i ocenění BBC Music Magazine a byl nominován na cenu Grammy.
V říjnu 2022 byl Jakub Hrůša jmenován hudebním ředitelem londýnské Královské opery v Covent Garden, a to s nástupem od září 2025. Ve funkci nahradí anglicko-italského dirigenta a klavíristu Antonia Pappana, jenž místo opouští po 22 letech.
Dirigent Jakub Hrůša je teprve druhým Čechem v Covent Garden v centrálním Londýně ve Westminsteru. Prvním byl krátce v 50. letech 20. století dirigent, skladatel a houslista Rafael Kubelík.
Jakub Hrůša je ženatý. S manželkou Klárou, která je advokátka, má dvě děti.