S hokejem Hynek Zohorna začal v pěti letech v rodném Havlíčkově Brodě. Od osmnácti let hrál za juniorku Hradce Králové. Posléze útočil za HC Rebel Havlíčkův Brod, HC Slavia Praha a HC Kometa Brno.
S brněnskou Kometou Hynek Zohorna získal v sezonách 2011/2012 a 2013/2014 stříbro, v ročníku 2014/2015 bronz a v následujících dvou extraligové zlato.
Poté Hynek Zohorna zamířil do finského klubu Pelicans Lahti, který v sezoně 2019/2020 vyměnil za Amur Chabarovsk (KHL).
Společně se svým starším bratrem Tomášem byl Hynek Zohorna nominován do českého národního týmu na MS 2019 na Slovensku, kde nároďák skončil čtvrtý. Spolu (oba coby útočníci švédského Oskarshamnu) ČR reprezentovali na ZOH 2022 v Pekingu, kde Česko vypadlo v osmifinále.
Kromě Tomáše je bratrem Hynka Zohorny hokejista Radim.