Po gymnáziu v rodném Pelhřimově Martin Kukla absolvoval obor elektrotechnická výroba a management na Fakultě elektrotechnicky a komunikačních technologií Vysokého učení technického v Brně. Řadu let pracoval ve společnosti Bosch Diesel v Jihlavě.
Do hnutí ANO 2011 Martin Kukla vstoupil roku 2014. V témže roce - stejně jako v následujících volbách - neúspěšně kandidoval do Zastupitelstva města Počátky.
Štěstí Martinu Kuklovi přálo ve volbách 2016, kdy získal post zastupitele Kraje Vysočina. V letech 2018 až 2020 byl náměstkem hejtmana. Do krajských voleb 2020 šel zabojovat o křeslo hejtmana Kraje Vysočina. Zůstal řadovým členem zastupitelstva.
Štěstí se na Martina Kuklu usmálo v parlamentních volbách 2021, v nichž se stal poslancem.
Martin Kukla je ženatý a má dva syny.