S hraním Štefan Kožka začal již na základní škole, kdy chodil do dramatického souboru. Po absolvování Vysoké školy múzických umění v Bratislavě se roku 1977 stal členem Divadla pro děti a mládež v Trnavě. Dále účinkoval mj. v Divadle Nová scéna Bratislava nebo v Divadle Andreja Bagara v Nitře.
ŠTEFAN KOŽKA NAPADL ŽENU A DCERU NOŽEM
Desítky rolí Štefan Kožka ztvárnil nejen v divadle, ale též před televizní i filmovou kamerou. Jmenujme dnes již legendární snímky Tisíciletá včela či Fontána pro Zuzanu 2. Náčelníka lupičů si zahrál v známé pohádce Nebojsa.
Výraznou a zároveň jednou z posledních rolí Štefana Kožky byla postava veterináře v komediálním seriálu Horní Dolní. Proslavila jej také úloha kuchaře v Přítelkyních. Objevil se například i v seriálech Odsouzení, Pod povrchem nebo Bouřlivé víno.
Štefan Kožka byl ženatý s herečkou Zuzanou Skopálovou.
Herec Štefan Kožka zemřel 14. prosince 2020 ve věku 66 let.