Už jako kluk přišel kvůli střepu z rozbité žárovky o oko. Jeho matka Jarmila Horská byla herečka, otec Mirko Čech skládal hudbu a dirigoval. Hned po DAMU, kde dokončil studium v roce 1973, nastoupil Rösner v libereckém Divadle F. X. Šaldy. Poté strávil jedno desetiletí na prknech Městských divadel pražských. Od roku 1987 bylo jeho hereckým domovem Národní divadlo. Hostoval i Pod Palmovkou a na dalších scénách.
Boris Rösner se předvedl jako Saileri v hudebním Amadeovi, jako Indián v Přeletu nad kukaččím hnízdem nebo jako Edmund v Shakespearově Králi Learovi. Ve filmu a televize se proslavil díky komediím Vrchní, prchni!, Chobotnice z druhého patra či Černí baroni, kde si zahrál s Miroslavem Donutilem.
Svou osobností ovládl i rozhlas. Za dabing ke snímku Na východ od ráje získal Boris Rösner Cenu Františka Filipovského. Vyhrál i divadelní Cenu Alfreda Radoka a Thálii, kterou získal společně s Vandou Hybnerovou. K tomu mu byla udělena in memoriam Medaile Za zásluhy. Na Divadelní akademii učil od roku 1989. Své životní vzpomínky sešil do memoárů Souboje Borise Rösnera a Boris Rösner: Život jako divadlo.
Alice Andrýsková s ním má dceru Gabrielu. Jeho milenkou byla prý herečka Jitka Asterová. Přední pedagog a jedinečný herec Boris Rösner zemřel posledního května roku 2006 na rakovinu.