Jakub Kovář začal svou chytačskou kariéru v 16 letech za písecký hokejový tým. Odtud brzy postoupil do Českých Budějovic, kterým byl dlouho věrný. Už v 18 letech si ho vybrala v draftu NHL Philadelphia Flyers a další sezónu nastoupil v OHL za týmy Oshawa Generals a Windsor Spitfire. Po roce se ze zámoří vrátil a další rok už hrál za tým HC České Budějovice.
V extraligových Budějovicích vydržel Jakub Kovář chytat celých pět sezón, dokud neusoudil, že je čas na změnu a tým v roce 2013 opustil. Mezitím ještě stihl rozhádat spoluhráče v kabině, když dvěma z nich svedl manželku. V polovině tohoto roku také podepsal smlouvu na dva roky v týmu KHL Avtomobilist Jekatěrinburg. V KHL už v prosinci získal titul nejlepšího brankáře měsíce a svou skvělou formu ukazuje dál.
V reprezentaci si poprvé zachytal v roce 2011 na mistrovství světa v zápase proti Norsku. Českému týmu se na tomto mistrovství podařilo získat bronz, na kterém měl Jakub Kovář svůj velký podíl. O rok později se mu podařilo na mistrovství světa vychytat další český bronz. Jeden zápas si také zachytal na olympiádě v Soči (2014)
V roce 2013 si Jakub Kovář zahrál s kolegy Ondřejem Pavelcem, Jakubem Voráčkem, Jiřím Tlustým a Radkem Smoleňákem „štěk“ v komedii Zdeňka Trošky Babovřesky 2. Několikavteřinové „angažmá“ domluvila s Troškou Lucie Vondráčková, manželka dalšího českého hokejového reprezentanta Tomáše Plekance.