Ochotničil již od mládí. Po střední škole nastoupil na DAMU; absolvoval v roce 1966. První angažmá Jiří Klem dostal v souboru Divadla za branou. Téměř 25 let působil na prknech smíchovského Realistického divadla Zdeňka Nejedlého (později Divadlo Labyrint, a od roku 2002 Švandovo divadlo).
JIŘÍ KLEM - „TREST“ ZA MAJORA ZEMANA
Objevil se i na dalších scénách: Divadlo Radka Brzobohatého, Letní shakespearovské slavnosti, Divadlo U Hasičů, Divadlo Komedie, Divadlo v Dlouhé, Divadlo v Řeznické. Po Sametové revoluci 1989 měl Jiří Klem úraz a byl bez stálého angažmá.
Uplatnění posléze Jiří Klem našel v Městských divadlech pražských. Jmenujme některá představení: Pan Kaplan má třídu rád (s Oldřichem Víznerem v hlavní roli); Sen čarovné noci; Drž mě pevně, miluj mě zlehka; Proč muži neposlouchají a ženy neumí číst v mapách.
Už od dob studií se Jiří Klem začal objevovat na filmovém plátně i na televizní obrazovce. Na svém kontě má na devět desítek především menších rolí (Osud jménem Kamila, Noc nevěsty, Sokolovo, Osvobození Prahy, Putování Jana Amose, Malý Pitaval z velkého města, Hraběnky).
Snad jedinou výjimkou je pohádka režiséra Antonína Moskalyka z roku 1971 Kráska a zvíře, kde si Jiří Klem po boku Jany Šulcové zahrál hlavní roli, tedy prince.
Jako nerudný důchodce Svatopluk Suchý, otec seriálového primáře chirurgie Davida Suchého v podání Jana Čenského, se Jiří Klem představil v Ordinaci v růžové zahradě. Podobnou postavu - protivnýho fotra - dostal v seriálu Linka, kde má syna policistu Filipa, jehož ztvárnil Ondřej Brzobohatý Gregor.
Svůj příjemný výrazný hlas Jiří Klem uplatnil v dabingu. Daboval snad stovky postav. Napřiklad Dartha Vadera ve Star Wars. Za Vlastimila Harapese namluvil postavu Jindřicha v komediích Jak vytrhnout velrybě stoličku a Jak dostat tatínka do polepšovny.
V roce 2019 Jiří Klem dostal Cenu Františka Filipovského za dlouhodobé herecké mistrovství v dabingu. Nezanedbatelná je i jeho práce pedagogická. V letech 1975 až 1990 byl profesorem herectví na DAMU.