S herectvím Klára Jerneková začala již na gymnáziu, a to v dramatickém kroužku. Během studií na DAMU hrála v Divadle E.F.Buriana, kde také získala své první angažmá. Tehdy též hostovala v divadle Semafor. Ihned po absolutoriu, což bylo roku 1966, se stala členkou činoherního souboru Národního divadla, kde působila až do roku 2000. V době vrcholné kariéry bývaly některé její výkony přirovnávány k legendární české herečce Haně Kvapilové.
Talentovaná Klára Jerneková se na televizní obrazovce poprvé objevila roku 1963 v komedii Domácí víno s Danou Medřickou, Bohušem Záhorským a Janem Třískou v hlavních rolích, na stříbrném plátně o rok později v muzikálu Kdyby tisíc klarinetu a v povídkovém dramatu Bubny. Klára Jerneková proslula hlavní rolí v pohádce Ludvíka Ráži Princezna Pampeliška (1967), kde se předvedla po boku Petra Kostky
Klára Jerneková si zahrála i v seriálech, např. společně s Jiřím Sovákem a Miroslavem Horníčkem v známé sérii Byli jednou dva písaři, dále pak v Tajemství proutěného košíku či v Synech a dcerách Jakuba skláře. Poslední roli dostala v Hotelu Herbich (1999) Hynka Bočana, kde ústřední postavy ztvárnili Blanka Bohdanová, Jiří Langmajer, Barbora Munzarová, Simona Postlerová, Jan Kačer či Květa Fialová. Kromě divadla, filmu a televize Klára Jerneková působila rovněž v rozhlase a v dabingu.
Manželem Kláry Jernekové byl herec a operní režisér Josef Čáp. Jejich syn Filip je také herec. Stejné povolání měla i její matka Jiřina Stránská, otec Karel Jernek byl režisér.