V šesti letech Hanna Alström, celým jménem Hanna Carolina Alström, začala hrát v Mladém divadle ve Stockholmu, kde působila i její o šest let starší sestra Sars Alström, která se ve Švédsku proslavila především díky seriálovým rolím.
Po gymnáziu Hanna Alström absolvovala Swedish National Academy of Mime and Acting (Národní akademii mimiky a herectví). Již při studiu se účastnila řady zejména divadelních projektů.
Po krátkometrážních snímcích Hanna Alström na filmovém plátně debutovala v celovečerním rodinném příběhu Sherdil (1999). Svou první hlavní roli ztvárnila v dramatu Knäcka (2009).
Princeznu Tildu si Hanna Alström zahrála v dobrodružném akčňáku Kingsman: Tajná služba (2014) s Colinem Firthem v hlavní roli. Více prostoru dostala v druhém díle Kingsman: Zlatý kruh (2017).
Do svého koprodukčního dramatu Skleněný pokoj (2019) Hannu Alström obsadil do jedné z klíčových postav Julius Ševčík, držitel tří Českých lvů za životopisné drama Masaryk (2016). Režisér snímek Skleněný pokoj natočil podle knižní předlohy Simona Mawera.
V letech 1999 až 2005 byla Hanna Alström provdaná za švédského herce Gustafa Skarsgårda.