Po střední průmyslové škole stavební v Českých Budějovicích František Konečný studoval Fakultu stavební a také práva.
Do roku 1989 člen totalitní KSČ František Konečný roku 2013 vstoupil do hnutí ANO 2011.
Stavař a vysokoškolský pedagog František Konečný se do komunální politiky dostal ve volbách 2014, kdy byl zvolen do Zastupitelstva města České Budějovice. Zhruba rok (2014 až 2015) byl též radním. A v také době působil ve funkci náměstka tamního primátora.
Za vlády Bohuslava Sobotky byl František Konečný poradcem na misterstvu pro místní rozvoj. Po krajských volbách 2016 zasedl do Zastupitelstva Jihočeského kraje. Ve volbách 2018 obhájil pozici v městském zastupitelstvu.
František Konečný se angažoval v jedné státní firmě a ve dvou soukromých, které od roku 2016 získaly bezmála čtyři stovky smluv se státem v celkové výši 292 miliony korun.
Do voleb 2020 Babišovo hnutí Františka Konečného coby předsedu Oblastního sdružení České Budějovice vyslalo zabojovat o post jihočeského hejtmana, a to tedy jako jedničku své tamní kandidátky. Obstát se mu nepodařilo.
V květnu 2021 František Konečný oznámil, že odchází z hnutí ANO.