Po gymnáziu a studiu na Státní jazykové škole Jan Grolich absolvoval právo na Právnické fakultě Masarykovy univerzity v Brně. Posléze začal pracovat v advokacii.
Po politiky Jan Grolich vstoupil ve volbách 2010, kdy byl jako nestraník za KDU-ČSL zvolen zastupitelem obce Velatice a záhy se stal starostou. Oba posty opakovaně obhájil. Volby 2016 mu vynesly křeslo v Zastupitelstvu Jihomoravského kraje.
Neúspěšný Jan Grolich byl s kandidaturou do Sněmovny ve volbách 2017. Přesto si jej křesťanští demokraté vybrali pro volby 2020 jako jedničku své kandidátky v Jihomoravském kraji, tedy adepta na tamního hejtmana. Tím se také stal. Ve funkci vystřídal Bohumila Šimka, politika za hnutí ANO 2011.
Po vítězství se Jan Grolich rozhodl vzdát postu starosty Velatic.
Jan Grolich je ženatý.