Vysokoškolské vzdělání plzeňský rodák Martin Baxa získal na Masarykově univerzitě v Brně, a to v oboru učitelství dějepisu a zeměpisu pro střední školy. Poté vyučoval na Mikulášském náměstí v Plzni.
Do ODS Martin Baxa vstoupil v roce 1999. Za stranu modrého ptáka úspěšně kandidoval v komunálních volbách 2002, po nichž se stal plzeňským zastupitelem. V letech 2004 až 2008 vykonával funkci radního Plzeňského kraje pro oblast kultury a památkové péče.
Po volbách 2010 byl Martin Baxa zvolen do té doby nejmladším primátorem v historii města Plzně. V roce 2014 se stal 1. náměstkem primátora Plzně pro oblast kultury, turismu, památkové péče a projektu Plzeň - Evropské hlavní město kultury 2015.
Ve volbách 2016 se Martin Baxa neúspěšně pokusil stát hejtmanem. V parlamentních volbách 2017 získal poslanecký mandát. Do komunálních voleb 2018 jej strana vyslala jako svého lídra, tudíž opět vybojovat primátorské křeslo, což se mu podařilo.
V parlamentních volbách 2021 Martin Baxa coby lídr kandidátky koalice SPOLU (KDU-ČSL, ODS a TOP 09) v Plzeňském kraji obhájil křeslo v dolní komoře.
Posléze se Martin Baxa stal adeptem na post ministra kultury ve vládě Petra Fialy (ODS). Jmenován byl 17. prosince 2021.
Mezi koníčky Martina Baxy patří literatura, historie, architektura a výtvarné umění.
Martin Baxa je ženatý.