Levicově orientovaný politik se vyučil strojním zámečníkem a absolvoval střední průmyslovou školu. Za komunistů Milan Štěch pracoval v českobudějovickém závodě Škoda jako strojní zámečník, dílenský dispečer a postupně se vypracoval na post mistra a také předsedy odborů.
Po Sametové revoluci 1989 byl Milan Štěch zvolen do předsednictva odborového svazu KOVO a nakonec se z něj stal nejvyšší odborář v zemi, tedy šéf Českomoravské komory odborových svazů.
V letech 1996, 2002, 2008 a opětovně v roce 2014 byl Milan Štěch zvolen za ČSSD do Senátu. V listopadu 2010 se českobudějovický rodák stal šéfem horní komory. V listopadu 2018 ho v křesle předsedy vystřídal Jaroslav Kubera (ODS).
Po předčasných volbách 2013 se Milan Štěch jako první nahlas postavil za předsedu strany Bohuslava Sobotku, kterého se pokusili na základě tzv. Lánské schůzky odstavit od moci členové vedení strany kolem hejtmana Michala Haška.
Do voleb 2020 Milana Štěcha strana vyslala post v horní komoře za obvod č. 15 - Pelhřimov obhájit. V druhém kole jej porazil kandidát Svobodných Jaroslav Chalupský. Milan Štěch tak v Senátu strávil 24 let.
Milan Štěch je ženatý a má dvě děti.