Martin Berkovec se narodil 12. února 1989 v Chebu. Svou fotbalovou kariéru začínal v mládeži klubu SK Cheb, následně Baník Sokolov a jeho konečnou štací se stala pražská Slavia, kde se v roce 2010 dokázal probojovat do seniorského A Týmu, ale neprosadil se. Za Slavii odchytal sezonu 2012/13.
Martin Berkovec ještě tentýž rok odešel na hostování do FC Hlučín. Sezonu 2011/12 odchytal za klub FK Spartak MAS Sezimovo Ústí. Nejvíce se předvedl v ročníku 2013/14, když chytal za Bohemians 1905. Po konci sezony se vrátil do Slavie a podepsal nový kontrakt do roku 2017. Do týmu se vrátil také obránce Martin Latka.