Jiří Kladrubský se narodil 19. listopadu 1985 a je odchovancem Dynama České Budějovice. V A Týmu nastupoval v letech 2004-2007, následně přestoupil do pražské Sparty. V sezóně 2009/10 získal se Spartou ligový titul. V jejím dresu nastoupil na startu nové sezóny 8. července 2010 k historicky prvnímu zápasu Českého Superpoháru, který sehrávají mistr ligy a vítěz národního poháru uplynulého ročníku. Sparta v něm jako ligový šampion porazila Viktorii Plzeň 1:0.
Jiří Kladrubský před sezonou 2011/12 přestoupil do Slovanu Bratislava, což je jeho zatím nejúspěšnější angažmá. S týmem si zahrál Evropskou ligu, v sezóně 2012/13 získal se Slovanem Bratislava double, v sezóně 2013/14 ligový titul se Slovanem obhájil, ačkoli v ročníku prodělal dlouhodobé zranění, musel podstoupit operaci kolena. Pak mu klub neprodloužil smlouvu a Kladrubský se vrátil do Budějovic, kde nově působí také třeba Štěpán Koreš nebo Michal Škoda.
Jiří Kladrubský je ženatý, svou dlouholetou partnerku Terezu si vzal v roce 2009. Mají spolu dceru Nellu.