David Pavelka se narodil 18. května 1991 v Praze, kde začal s fotbalem v klubech ABC Braník a poté v AC Sparta Praha. V sezoně 2011/12 se nakrátko prosadil do A Týmu Sparty, ale ještě v této sezoně putoval na hostování do 1. FC Slovácko.
David Pavelka začátkem roku 2013 se společně s Martinem Frýdkem přesunul ze Sparty do severočeského klubu FC Slovan Liberec, součástí transferu byl prodej záložníka Lukáše Váchy za 15 milionů korun opačným směrem. Pavelka si v dresu Liberce zahrál i skupinovou fázi Evropské ligy. Patří k tahounům týmu společně s Markem Jarolímem, Dzonem Delargem nebo Janem Rajnochem.