Reprezentoval Československo a posléze Českou republiku ve skoku na lyžích stejně jako Jiří Raška a Pavel Ploc. Jiří Parma, příslušník Dukly Banská Bystrica a TJ MEZ Frenštát, byl pověstný svým precizním klasickým skokanským stylem, kterým se prosazoval hlavně ve skocích na středním můstku, a dlouhodobou stálostí formy.
Do nominace na XVI. zimní olympijské hry 1992 v Albertville se Jiří Parma dostal na poslední chvíli, odvděčil se však výbornými výkony. Počátek 90. let 20. století se totiž nesl ve znamení novinky, tzv. V-stylu, a trenér Ján Tánczoš dával přednost mladým, klasickým stylem nezatíženým skokanům.
Jiří Parma se připravoval individuálně, nový styl zvládl v neuvěřitělně krátké době, ba přidal i potřebnou délku skoků. V Courchevelu, kde se konaly olympijské soutěže ve skocích na lyžích, hned v úvodním závodě na středním můstku předvedl své umění a po trochu nezdařeném druhém pokusu uzavíral první desítku závodníků.
Zúčastnil se ještě XVII. zimních olympijských her 1994 v Lillehammeru. Byla to jeho čtvrtá olympiáda, ovšem první v dresu České republiky. Tak jako celé české výpravě, tak ani skokanům se v Norsku vůbec nedařilo. V individuálních závodech skončil Jiří Parma na středním můstku na 19. a na velkém můstku dokonce až na 39. místě.
Rovněž v soutěži družstev chybělo čtveřici Dluhoš, Krompolc, Parma a Sakala takřka sto bodů na "plánovanou" čtvrtou příčku, místo ní se čeští skokané museli spokojit se sedmým pořadím.
Po olympiádě Jiří Parma svoji neuvěřitelně dlouhou, vyrovnanou a úspěšnou závodní kariéru ukončil.
Později bylo slyšet o Jiřím Parmovi ještě v souvisloti s jeho autonehodou. Ukázalo se, že řídil opilý.