Robert Hájek pochází z umělecky založené rodiny – matka herečka Jarmila Švehlová, dědeček tenorista Zdeněk Švehla. Po absolvování hudebně-dramatického oboru na Pražské konzervatoři hned ten samý rok (2012) získal angažmá v Městských divadlech pražských. Zde se na scéně předvedl v představeních Sen Čarovné noci, Markéta Lazarová, Kancl, Bylo nás pět, Bedřich Smetana: The Greatest Hits či Sebevrah. Působil také v Divadle Na Rejdišti, v Komorní činohře a v Divadle Minor (Klapzubova jedenáctka).
Poprvé na sebe Robert Hájek upozornil ještě jako školák rolí Macha v komedii Václava Vorlíčka a Miloše Macourka Mach, Šebestová a kouzelné sluchátko (2001), v níž se postavičky Adolfa Borna z dnes již kultovního večerníčkového seriálů rozhodnou poznat svět lidí. Režisér do něj dále obsadil Kristýnu Květovou (Šebestová), Petra Nárožného, Stellu Zázvorkovou, Pavla Landovského či Jiřho Lábuse.
Menší role si Robert Hájek zahrál v seriálu Josef a Ly (2004) a televizních filmech Bekyně mniška (2008) a Bludičky (2010). Po pohádkovém Machovi se další hlavní postavy dočkal společně s Martinem Donutilem, synem slavného Miroslava Donutila, v produkci České televize, a to v krimi seriálu Četníci z Luhačovic (2017), jehož děj se odehrává roku 1919. Společně s Martinem Donutilem v něm ztvárnil ústřední dvojici mladých prvorepublikových četníků. Na place se potkali s Pavlem Zedníčkem, Robertem Jaškówem, Karlem Dobrým, Jiřím Langmajer, Ondřejem Malým, Pavlou Tomicovou, Danou Batulkovou či Vicou Kerekes.
Herec Radek Hájek se též věnuje dabingu. Jeho hlasem od roku 2002 promlouvá Elliot v Spielbergově nesmrtelném hitu E.T. – Mimozemšťan a George Little z pohádkového příběhu Myšák Stuart Little 2. Namluvil postavy v řadě filmů a seriálů, např. Polární expres, Bernský zázrak, Dívka vs. Monstrum, Příběhy ze Zeměmoří, Želvy Ninja, Procitnutí, 90210: Nová generace, Perníkový táta, Castle na zabití.
Koníčky Roberta Hájka jsou sport, do staršího dorostu chytal za FK Dukla Praha, a vaření.