Josef Řihák maturoval na Střední zemědělské technické škole v Březnici. Po základní vojenské službě nastoupil na okresní veterinární správu v Příbrami. Dálkově vystudoval veterinární Vysokou školu v Brně. Má titul MVDr. Pracoval jako obvodní veterinární inspektor a poté jako vedoucí Veterinární a hygienické stanici v Příbrami. V roce 1998 se stal členem ČSSD.
Do krajského zastupitelstva byl zvolen v roce 2000. O dva roky později byl zvolen i do poslanecké sněmovny. Působil jako místopředseda zemědělského sněmovního výboru. Ve sněmovně setrval až do roku 2008 než na svůj mandát rezignoval.
Dlouhodobě je Josef Řihák aktivní v komunální politice. V zastupitelstvu města Příbrami byl již od roku 2002. V roce 2006 se stal starostou Příbrami a ve funkci zůstal až do prosince roku 2012, kdy na funkci rezignoval, protože byl o měsíc dříve zvolen po Davidu Rathovi novým středočeským hejtmanem. V roce 2007 byl Josef Řihák zástupcem všech starostů v boji proti umístění amerického radaru v ČR. Jeho nástupce na místě starosty Pavel Pikrt o něm prohlásil, že to byl nejlepší příbramský starosta v historii. Opozice by, ale jistě nesouhlasila. Nelíbil se jí hlavně prodej příbramské polikliniky. Proti se postavili i doktoři a vznikla petice proti prodeji, kterou podepsalo na čtyři tisíce obyvatel města. Účelem petice mělo být Řihákovo odvolání. To se ovšem nestalo. Jeho největší úspěch v postu starosty bylo s pomocí dotací z EU zrekonstruovat autobusové nádraží a okolí kulturního domu a spustit rozsáhlou rekonstrukci náměstí T.G.M. a jeho okolí. Řihák rezignoval na post hejtmana v červnu roku 2014 poté, co mu strana vyslovila nedůvěru. Ve volbách do Senátu téhož roku na podzim se rozhodl kandidovat za ČSSD v Příbrami, ale neuspěl.
Ženatý otec dvou dětí je laureátem ceny Přístav, kterou mu v roce 2010 udělila Česká rada dětí a mládeže za podporu mimoškolní práce s dětmi a mládeží.