Po gymnáziu se Martin Dvořák dvakrát neúspěšně pokusil dostat na DAMU. Poté vystudoval Vysokou školu ekonomickou v Praze, kterou ukončil v roce 1982. Odmítl vstoupit do KSČ, což se odrazilo v jeho pracovním zařazení.
V letech 1990 až 1998 byl Martin Dvořák primátorem Hradce Králové, nejprve za Občanské fórum, posléze za ODA. Poté se stal členem a dvakrát i předsedou politické strany Volba pro město (VPM), kterou roku 2021 vyměnil za hnutí STAN.
Od roku 1990 do prosince 2012 (s výjimku let 2004 až 2010) Martin Dvořák zasedal v královéhradeckém zastupitelstvu. Na mandát rezignoval, jelikož byl jmenován generálním konzulem ČR v New Yorku.
V létě 1999 byl Martin Dvořák vyzván Radou Evropy k účasti na administrativní misi OSN v Kosovu (UNMIK), kde působil postupně jako administrátor měst Istog/Istok a Gjakova/Djakovica a krátkou dobu také jako ředitel odboru rozvoje místní samosprávy v regionu Pejë/Peč.
Po návratu z mise Martin Dvořák kandidoval do Senátu v obvodu č. 45, postoupil do druhého kola, v němž jej porazil Karel Barták.
Od července 2003 Martin Dvořák působil v Iráku, kde jako jeden z českých expertů v rámci Přechodné koaliční správy (CPA) pracoval nejprve v Basře na ustavení místní samosprávy v jižní části Iráku a posléze byl přizván do administrativního týmu Rady pro mezinárodní koordinaci (CIC) v Bagdádu. Zde působil jako zástupce ředitele odboru pro koordinaci dárců.
V dubna 2004 se Martin Dvořák stal zaměstnancem ministerstva zahraničí. Od ledna 2005 do července 2009 pracoval jako obchodní rada na zastupitelském úřadě ČR v USA ve Washingtonu. Posléze mj. řídil Odbor dvoustranných ekonomických vztahů a podpory exportu.
V roce 2016 byla Martinu Dvořákovi řádem milosrdných bratří udělena Cena Celestýna Opitze za vzor v péči o nemocné a potřebné za jeho humanitární a rozvojovou činnost v Kosovu a Iráku, a za celoživotní postoj vůči službě lidem a společnosti.
V letech 2021 až 2023 byl Martin Dvořák náměstkem ministra zahraničních věcí Jana Lipavského. V květnu 2023 se stal ministrem pro evropské záležitosti ve vládě Petra Fialy. Vystřídal Mikuláše Beka, který se ujal resortu školství, mládeže a tělovýchovy.