Marek Kulič se narodil 11. října 1975 v Hradci Králové, kde také s fotbalem začal. Svoji fotbalovou kariéru rozjel v SK Hradec Králové, odkud přestupil v roce 1991 do Slavie Hradec Králové. V týmu působil v mládeži a zároveň hrál i za A Tým. O rok později se stal hráčem Sokolu Malšovice a následně zamířil do Olympie Hradec Králové.
Marek Kulič v roce 1996 přestoupil do Lázní Bohdaneč, kam se po roce stráveném v Drnovicích vrátil. V létě 1999 zamířil do Marily Příbram. O 4 roky později vedly jeho kroky do Dynama České Budějovice. V roce 2005 odešel do Mladé Boleslavi, kde odehrál sezonu 2005/06.
Marek Kulič na další dvě sezony přestoupil do pražské Sparty, se kterou v ročníku 2006/07 získal ligový titul. V roce 2009 se vrátil zpět do Mladé Boleslavi a v roce 2011 s ní získal pohár. V lednu 2014 podepsal smlouvu s FC Hradec Králové. V druholigové sezoně 2013/14 postoupil s Hradcem Králové do nejvyšší soutěže. S Davidem Vaněčkem a Adrianem Rolkem patří k oporám týmu.
Marek Kulič v reprezentaci odehrál 12 zápasů a nastřílel 3 góly. Byl členem kádru, který v kvalifikaci bojoval o Euro 2008, na samotný turnaj se však kvůli velké konkurenci nedostal. Místo něj jeli Jan Koller, Milan Baroš, Václav Svěrkoš a Martin Fenin. Kulič je ženatý a má dceru Nikolu.