Jasmin Ščuk se narodil 14. července 1990 v tehdejší Jugoslávii, konkrétně ve městě Mostar. Už od mládí prokazoval, jak velký talent má. V letech 2006-2009 nastupoval za týmy Turbina Jablanica a Radnik Hadžiči. Poté zamířil na zkoušku do Mladé Boleslavi, kde už zůstal.
Jasmin Ščuk začínal v B Týmu, ale od května 2011 nastupuje pravidelně za první mužstvo. V sezóně 2012/13 se probojoval s Mladou Boleslaví do finále českého fotbalového poháru proti Jablonci. Zápas dospěl po remíze 2:2 do penaltového rozstřelu, který mladoboleslavští prohráli poměrem 4:5. Jasmin svůj pokus proměnil. Zahrál si také v předkolech Evropské ligy v sezoně 2014/15.
Jasmin Ščuk dosud nehrál za seniorskou reprezentaci Bosny a Hercegoviny, nesetkal se tedy se stálicemi mužstva jako Edin Džeko nebo Senad Lulič. On a jeho bosenští kolegové z české nejvyšší soutěže tepličtí Admir Ljevakovič a Aidin Mahmutovič nebo jihlavský Haris Harba mají cestu do reprezentace složitou, protože trenér Safet Sušič českou ligu neuznává.
Defenzivní záložník Jasmin Ščuk je ženatý a má syna Vedada. Hlásí se k muslimské víře.