Vystudoval průmyslovou školu v Dušní ulici a pak Stavební fakultu ČVÚT. Do Divadla Járy Cimrmana tehdy studenta Roberta Bártu přivedla finanční tíseň. Kamarád mu nabídl, aby si tam přivydělával jako kulisák, a to údajně 70 korun za představení.
Divadlo se stalo jeho dlouholetým koníčkem. Po studiích se Robert Bárta věnoval především své profesi, pracoval ve vojenských stavbách, kde mj. zaváděl automatizované informační systémy.
Po komunálních volbách 2010 byl Robert Bárta zvolen starostou středočeské obce Oplany, která se nachází osm kilometrů jižně od Kostelce nad Černými lesy. Křeslo starosty inženýr-stavař obhájil ve volbách 2014 i 2018.
Na prknech Divadla Járy Cimrmana se Robert Bárta poprvé objevil v roli Kryštofa Nastoupila ve hře Švestka, v níž po smrti kolegy Jana Kašpara ztvárnil i postavu Sváti Pulce.
Karla Havlíčka Borovského Robert Bárta zpodobnil v přestavení České nebe aneb Cimrmanův dramatický kšaft. Zahrál si v hrách Blaník, Afrika aneb Češi mezi lidožravci či Psaní do nebe, které mohli vidět i televizní diváci, tedy samozřejmě ze záznamu.
Na filmovém plátně starosta Robert Bárta debutoval v tragikomedii Jana a Zdeňka Svěrákových Po strništi bos (2017). Zahrál si v něm úředníka pohřebního ústavu.