V mládí Libor Pešek studoval hru na klavír, pozoun a violoncello. Již na gymnáziu si založil jazzový Orchestr Libora, v němž hrál na pozoun. V roce 1958 založil Komorní harmonii. V letech 1965 až 1969 řídil další svůj soubor Sebastian orchestr. Oba měly úspěch i v cizině.
V letech 1963 až 1969 byl Libor Pešek šéfdirigentem Severočeské filharmonie Teplice, poté sedm let šéfdirigentem Komorní filharmonie Pardubice. Od roku 1970 hostoval jak v českých, tak v zahraničních orchestrech.
V letech 1981 až 1982 Libor Pešek působil jako šéfdirigent Slovenské filharmonie a posléze osm let dirigoval Českou filharmonii.
Uměleckým ředitelem a šéfdirigentem Královského filharmonického orchestru v Liverpoolu Libor Pešek byl v letech 1987 až 1999. V letech 1994 až 1999 předsedal výboru mezinárodního hudebního festivalu Pražské jaro. V roce 2007 se stal hlavním dirigentem Českého národního symfonického orchestru.
Libor Pešek spolupracoval s televizí i s rozhlasem.
Při příležitosti státní návštěvy britské královny Alžběty II. v České republice v roce 1996 Libor Pešek obdržel Řád britského impéria. Téhož roku byl jmenován čestným členem Univerzity v hrabství Lancashire v Prestonu. V roce 1997 dostal Cenu Classic a z rukou tehdejšího prezidenta Václava Havla převzal Medaili Za zásluhy I. stupně.
Proslulý dirigent Libor Pešek zemřel 23. října 2022. Bylo mu 89 let.