Ve třech letech mu zemřela matka. O rok později spáchal otec sebevraždu. Rodinu pak Bořivoj Navrátil našel u své tety. Věděla, že chce hrát, ale pro jistotu ho poslala na obchodní akademii. Naučil se těsnopis a v psaní na stroji byl několikrát nejlepší v kraji.
Od patnácti let Bořivoj Navrátil mluvil sprostě. Díky tomu se zbavil ráčkování a mohl hrát divadlo. Nejprve hrál milovníky a lékaře. Pak se oholil a stal se hereckým zloduchem.
Po absolvování brněnské JAMU se Bořivoj Navrátil vydal do těšínského divadla. Následovala Opava a Ostrava, kde poznal budoucí manželku, tanečnici Marii Steinovou. Ta se s ním kvůli odloučení rozvedla. Na křídlech lásky v tragédii Romeo a Julie totiž odletěl do Národního divadla v Praze, kde ona žít kvůli své práci nemohla.
Zahrál si v dramatech Námluvy Pelopovy nebo Optimistická tragédie. Do alegorie bratří Čapků Ze života hmyzu si Bořivoj Navrátil musel oholit hlavu. Vlasy už mu nedorostly a on tak získal originální lesk coby člověk i herec.
Z Národního divadla po jednatřiceti letech odešel. V Divadle Na zábradlí ztvárnil role v Rackovi nebo ve Služce. Do své smrti byl Bořivoj Navrátil členem divadelního souboru Kašpar. Dvacet let učil na Pražské konzervatoři a dva roku i na DAMU.
V psychologickém dramatu Ucho, v němž zazářila Jiřina Bohdalová spolu s Radoslavem Brzobohatým, získal jednu ze svých prvních filmových rolí. Následovaly Sestřičky nebo Pozor, vizita!. Knoflíky trhal Bořivoj Navrátil ladným pohybem v komedii Knoflíkáři. Své umění ukázal i v seriálu Návštěvníci nebo v nekonečné Ulici.
Sagarmatha, film o dobytí nejvyšší hory světa, se natáčel v nadmořské výšce 5400 metrů. Herec Bořivoj Navrátil dostal vysokohorskou nemoc a málem zemřel. Zotavil se a hrál dál. Na rakovinu tlustého střeva už ale nevyzrál. Podlehl jí v osmasedmdesáti letech.
S tanečnicí Marií Steinovou měl Bořivoj Navrátil syna Kryštofa.