K herectví Robert Finta inklinoval již od dětství. Navštěvoval Základní uměleckou školu Vladimíra Ambrose v Prostějově a poté se ho ujali v ochotnickém spolku amatérského divadla Point. Po nepřijetí na brněnskou konzervatoř pro nedostatek talentu ho přijali na ostravskou konzervatoř.
Pánskou část činoherního souboru Národního divadla moravskoslezského Ostrava Robert Finta rozšířil 1. dubna 2013. Předvedl se zde mj. jako Christopher v inscenaci Podivný případ se psem, Nero v muzikálu Quo vadis a Píšťala nebo v Shakespearově komedii Sen noci svatojánské.
Za ztvárnění hlavní role v inscenaci Teď mě zabij (Joey Sturdy) na prknech Národního divadla moravskoslezského Ostrava byl Robert Finta nominován na Cenu Thálie 2017.
Na filmovém plátně Robert Finta debutoval v hororu Lukáše Melníka a Marcela Škrkoně Isabel (2013), v němž si zahrál mechanika.
Mezi koníčky Roberta Finty patří cestování a četba.