Kariéru Jozef Síkela započal po absolvování Vysoké škole ekonomické, když se v roce 1991 připojil k Bank Austria Creditanstalt. Od roku 2001 pak působil v několika společnostech rakouské Erste Group.
Do roku 2006 byl Jozef Síkela ředitelem korporátního programu v České spořitelně, poté se přesunul do ukrajinské větve Erste Bank jako zástupce jejího CEO. V roce 2009 postoupil do funkce výkonného ředitele.
V roce 2010 se Jozef Síkela stal CEO Slovenské spořitelny. Pod jeho vedením byla banka oceněna společností Deloitte jako nejcennější slovenská značka. Během čtyř let jeho působení pak byla třikrát vyhlášena slovenskou bankou roku.
Roku 2013 Jozef Síkela obdržel cenu slovenského bankéře roku a zároveň se umístil mezi nejlepšími pěti slovenskými manažery.
Díky svým úspěchům byl Jozef Síkela povýšen do představenstva celé Erste Group. Pozici opustil po výměně generálního ředitele v roce 2019 a pro skupinu pracoval jako externí poradce do konce roku 2020.
V lednu 2021 začal Jozef Síkela působit v investiční skupině Prime Fund, v níž je společníkem.
Koncem listopadu 2021 se Jozef Síkela stal kandidátem na post ministra průmyslu a obchodu ve vládě Petra Fialy (ODS). Rozhodlo tak hnutí STAN poté, co se nominace vzdal Věslav Michalik, a to kvůli spekulacím o rodinném podnikání. Jozef Síkela byl ministrem jmenován 17. prosince 2021.