Absolvoval obor biologie na Přírodovědecké fakultě Univerzity Karlovy v Praze. Po Sametové revoluci 1989 Radim Špaček stál u zrodu Občanského fóra (OF), jehož členem byl do jeho rozpadu v roce 1991. Poté svou politickou cestu spojil s nově vzniklou stranou Občanské demokratická aliance (ODA).
Do komunální politiky Radim Špaček vstoupil roku 1990, kdy byl za OF zvolen radním městské části Praha 6. Již za ODA se rok nato stal členem České národní rady (ČNR) a po její transformaci na PSP ČR zasedal v letech 1993 až 1996 ve Sněmovně.
Poté Radim Špaček působil mj. jako náměstek ministra životního prostředí za první vlády Václava Klause, předseda Rady Státního fondu životního prostředí nebo člen občanských sdružení a spolků. ODA opustil roku 1997.
Mandát zastupitele Prahy 6 Radim Špaček neobhájil. V roce 1998 začal dělat poradce v oblastech monitorování a analýzy legislativy, veřejné správy, regionálního rozvoje, parlamentních procedur, financování projektů, ochrany životního prostředí a přenosu výsledků vědy a výzkumu do praxe.
Kvůli svému působení (od srpna 2004 do února 2005) na postu likvidátora Nadace pro rozvoj regionů byl Radim Špaček pět týdnů ve vazbě a po deseti letech táhnoucího se trestního řízení v roce 2015 pravomocně odsouzen ke čtyřem letům vězení a k náhradě patnáctimilionové škody.
Ve volbách 2016 od roku 2008 člen monarchistické strany Koruna Česká Radim Špaček neúspěšně kandidoval do Senátu v obvodu č. 40 - Kutná Hora. Nepostoupil ani do druhého kola. Z výkonu trestu byl podmínečně propuštěn v říjnu 2017.
Nezdarem pro Radima Špačka skončily i volby 2018, v nichž nezískal mandát zastupitele městské části Praha 6. V listopadu 2018 byl zvolen předsedou strany Koruna Česká (KČ).
V parlamentních volbách 2021 se Radim Špaček stal celorepublikovým lídrem KČ a jedničkou středočeské kandidátky. Neuspěl, poslanecký mandát nezískal.
Mezi zájmy Radima Špačka patří opera, historie, rodokmeny a také jeho obor, tedy biologie, v níž se stále vzdělává.
Radim Špaček je ženatý. S manželkou vychoval tři syny.